Come studiare le dimostrazioni

Quella che segue è l'introduzione di un capitolo del libro di Jonathan Lewin “An interactive introduction to Mathematical Analysis” (Cambridge University Press, 2003, pp.26-27), che ha per titolo “Strategie per scrivere le dimostrazioni”. Può essere un'ottima guida allo studio della “teoria”, e in particolare allo studio delle dimostrazioni dei teoremi.

    “Lo scopo di questo capitolo è insegnarti come studiare le dimostrazioni matematiche che ti sono state fornite, e come escogitare tu stesso delle dimostrazioni. Come vedrai, questi due compiti sono pressoché lo stesso perché, nel processo di leggere una dimostrazione, ti è chiesto costantemente di completare i dettagli per giustificare le asserzioni che l'autore ha fatto. Perciò la chiave per imparare una dimostrazione è la comprensione. Una pratica da sempre impiegata dagli studenti per “imparare” una dimostrazione senza avere il problema di comprenderla effettivamente è quella di studiarla a memoria. Non fare questo errore! Memorizzare una dimostrazione che non capisci ha circa lo stesso significato che studiare una grande composizione musicale memorizzando le note e i simboli musicali come che appaiono su un pezzo di carta, senza avere la più pallida idea di cosa significano questi simboli, o che melodia è scritta lì.

    E non dovresti nemmeno accontentarti, quando studi una dimostrazione, della conoscenza di come ciascun passaggio individuale segua dal precedente. Ogni dimostrazione ha un tema, un progetto generale, che ci suggerisce quali passi individuali ci dovrebbero essere. Tu hai capito una dimostrazione solo quando ci hai guardato dentro abbastanza in profondità da percepire quel tema. Talvolta, quando leggi una dimostrazione, sarà necessario scavare con cura per portare alla luce il tema soggiacente, specialmente quando la dimostrazione è molto “pulita”. Una delle difficoltà che devi affrontare è che la dimostrazione che stai leggendo è un prodotto finito. Funziona. E' valido. Ma non rivela sempre tutto dei pensieri che hanno portato alla sua scoperta, e dei pensieri che hanno guidato il tuo insegnante a scriverla nella forma che sta davanti a te.

    Per aiutarti a scoprire il tema soggiacente una dimostrazione e per anticipare il modo in cui può essere portata avanti, tu potresti volerti fare questi due tipi di domande:

    Talvolta, quando una dimostrazione è difficile, non sarai capace di anticiparla. Leggi la dimostrazione un passo alla volta e, quando hai capito i passaggi individuali, ritorna al lavoro di cercare di anticiparli. Gradualmente arriverai a capire il ponte tra l'informazione data e la tesi richiesta, che la dimostrazione fornisce. Mano a mano che la tua comprensione della dimostrazione diviene più solida, sii sicuro di capire dove tutta l'informazione data è utilizzata. Se una parte qualsiasi di questa informazione non è stata usata, allora o il teorema può essere migliorato, oppure (più probabilmente) tu stai fraintendendo qualcosa.

    Quando veramente capisci una dimostrazione, ti sentirai capace di spiegarla agli altri. Anzi, vorrai spiegarla agli altri; proprio nel modo in cui cercheresti qualcuno a cui raccontare una bella barzelletta che hai appena ascoltato. Uno dei modi migliori di imparare una dimostrazione è immaginare che la dovrai insegnare a qualcun altro. Mentre la studi, scrivila su un foglio di carta e immagina che in realtà la stai spiegando a un'altra persona. Tu hai capito la dimostrazione se e solo se hai la percezione di aver fatto realmente un buon lavoro nello spiegarla.

    Il modo in cui noi ci accostiamo al compito di provare un particolare enunciato matematico dipende dalla natura dell'enunciato e, in particolare, dal modo in cui i simboli logici se, e, o, , , appaiono. Dove e come esattamente questi termini appaiono, gioca un ruolo di primaria importanza quando noi mettiamo a punto la nostra strategia per scrivere la dimostrazione”.

Traduzione a cura di M. B.