Programma dettagliato del corso di Metodi Matematici per l'Ingegneria
Ing. Elettronica, Informatica, Telecomunicazioni (5 crediti - ord. L.270 e L.509)
Politecnico di Milano
A.A. 2012/2013.  Prof. M. Bramanti

Riferimenti bibliografici: dalla pagina del corso si possono scaricare le dispense che coprono l'intero programma.


Sono richieste le dimostrazioni dei fatti contrassegnati con (*).

Parte 1. Concetti di base su spazi di funzioni, convergenza uniforme, teorema di punto fisso e applicazioni

1. Strutture astratte utili allo studio degli spazi di funzioni

Spazi vettoriali. Definizione di spazio vettoriale. Spazi vettoriali di dimensione finita e infinita; esempi di spazi di funzioni: C°[a,b], C¹[a,b]... Criterio di riconoscimento dei sottospazi e criterio pratico per provare che uno spazio di funzioni è spazio vettoriale (chiusura per combinazioni lineari).

Spazi vettoriali normati. Definizione di norma. Esempi: norme in Rn, norma in C°[a,b]. Differenza con C°(a,b) Norme equivalenti in uno s.v.n.; tutte le norme sono equivalenti in Rn; esempio di due norme non equivalenti in C°[a,b] (integrale e del massimo).

Spazi metrici. Definizione di spazio metrico. Uno spazio vettoriale normato è metrico. Un sottoinsieme di uno spazio metrico è metrico; in particolare, un sottoinsieme di uno spazio vettoriale normato è metrico ma in generale non è un sottospazio vettoriale. Altri esempi di spazi metrici non vettoriali o non normati.

Elementi di topologia in spazi metrici: sfere, punti interni, esterni, di frontiera; insiemi aperti, chiusi (come complementare degli aperti). Unione e intersezione di aperti e di chiusi. Definizione di successione convergente e limite. Un insieme è chiuso se e solo se contiene i limiti di tutte le sue successioni convergenti (*). Funzione continua tra spazi metrici. Insiemi aperti e chiusi definiti da una funzione continua. Definizione di interno, frontiera, chiusura di un insieme. Insieme denso. Insieme limitato.

2. Convergenza e completezza

I teoremi di convergenza in Rn. Richiami su: proprietà dell'estremo superiore in R, teorema di monotonia per successioni. Teorema di Bolzano-Weierstrass: una successione limitata in Rn ha una sottosuccessione convergente (*). Fallimento del th. di BW in spazi di dimensione infinita: contresempi.

Completezza in spazi metrici. Successioni di Cauchy, successioni convergenti. Una successione di Cauchy è limitata; una successione convergente è di Cauchy. Spazi metrici completi. Completezza di Rn  (*). Definizione di spazio di Banach. Esempio di spazi vettoriale normato non completo. Un sottoinsieme chiuso di uno spazio metrico completo è completo (*).

3. Successioni e serie di funzioni, spazi di Lagrange

Successioni di funzioni e convergenza uniforme. Convergenza puntuale di una successione di funzioni definite in un sottoinsieme di Rn. Esempi di successioni di funzioni continue, o limitate, o derivabili, o integrabili, che convergono a una funzione che non ha queste proprietà. Definizione di convergenza uniforme di una successione di funzioni in un sottoinsieme di Rn. Continuità del limite uniforme di funzioni continue (*). Teorema sul criterio di Cauchy di convergenza uniforme. (*)

Spazi di Lagrange. Lo spazio C°(K) con K chiusura di un aperto limitato di Rn. La norma C°(K) è la norma della convergenza uniforme. C°(K) è di Banach (*). Limitatezza del limite uniforme di funzioni limitate. Integrabilità del limite uniforme di funzioni integrabili. Teorema sulla derivabilità termine a termine per una successione di funzioni C1 converegente, con successione delle derivate uniformemente convergente. Lo spazio Ck(K). E' di Banach, con la norma "giusta". Contresempio: C¹ con la norma di C° non è di Banach. Gli spazi o : con qualsiasi norma Ck non è completo, e non esiste una "norma ".

Spazio di Lipschitz. Definizione di funzione lipschitziana su un chiuso e limitato di Rn. Lo spazio vettoriale normato Lip(). E' uno spazio di Banach. Lo spazio C1 è contenuto in Lip.

4. Il teorema di punto fisso in spazi metrici e le sue applicazioni

Il teorema delle contrazioni in spazi metrici completi (*). Introduzione al problema di Cauchy per EDO: equazioni di ordine n (o sistemi di equazioni di ordine qualsiasi) e relativo problema di Cauchy, riduzione a sistemi del prim'ordine. Riformulazione del problema di Cauchy per un sistema del prim'ordine mediante equazione integrale. Teorema di esistenza e unicità locale per il problema di Cauchy (*). Altre applicazioni del teorema di punto fisso: risolubilità di equazioni integrali di Fredholm di 2a specie con nucleo continuo sufficientemente piccolo (*); applicazione alla risoluzione di un problema ai limiti in un modello di diffusione. (*)

Parte 2. La teoria di Lebesgue della misura e dell'integrazione

1. Teoria della misura e dell'integrazione, astratta e in Rn

Motivazioni per introdurre un nuovo integrale e quindi una nuova misura.

Teoria della misura, astratta  e in Rn. Sigma algebre di insiemi; spazi misurabili; sigma-algebra generata da una famiglia di insiemi; sigma-algebra di Borel in uno spazio metrico qualsiasi. Spazi di misura astratti e proprietà delle misure. Primi esempi: misura del conteggio, misura di Dirac. Insiemi di misura nulla, misure complete. Costruzione della misura di Lebesgue in Rn: n-celle e loro misura elementare; misura esterna di un qualsiasi sottoinsieme di Rn, mediante coperture con unioni numerabili di n celle; proprietà di Carathéodory; teorema di Carathéodory, definizione di sigma-algebra di Lebsegue e misura di Lebsegue e relative proprietà. Esempi sulla misura di Lebsegue in R: ogni insieme numerabile ha misura nulla; il ternario di Cantor come esempio di insieme non numerabile di misura nulla; il ternario di Cantor generalizzato e le sue proprietà. Restrizione di una misura.

Teoria dell'integrazione, astratta e in Rn. Funzioni misurabili su uno spazio di misura astratto. Misurabilità e continuità. (*) Importanza della completezza della misura per le proprietà delle funzioni misurabili: funzione uguale quasi ovunque a una funzione misurabile è misurabile (*). Operazioni finite sulle funzioni misurabili: funzione continua composta con funzione misurabie, operazioni algebriche su funzioni misurabili. Misurabilità del sup/inf, limsup/liminf, limite di una successione di funzioni misurabili (*). Funzioni semplici positive; integrale di una funzione semplice positiva; teorema di approssimazione di una funzione misurabile positiva mediante funzioni semplici positive (*); integrale di una funzione misurabile positiva; integrale di una funzione misurabile di segno qualunque: funzioni sommabili e spazio L1.

Proprietà elementari dell'integrale di Lebesgue: linearità, monotonia, proprietà di annullamento; numerabile additività rispetto all'insieme di integrazione. Misura definite da una densità rispetto a un'altra misura. Relazione tra integrale di Riemann e integrale di Lebesgue su un intervallo: caratterizzazione delle funzioni Riemann integrabili in senso proprio; esempi di funzioni Lebesgue ma non Riemann integrabili; confronto tra integrale di Lebesgue e integrale di Riemann generalizzato.

Teoremi di convergenza per l'integrale di Lebesgue e loro conseguenze. Il teorema della convergenza monotona per successioni di funzioni misurabili positive (*). Il teorema di Fatou per successioni di funzioni misurabili positive (*). Il teorema della convergenza dominata per successioni di funzioni misurabili di segno qualunque (*). Esempi di utilizzo del teorema di Lebesgue per studiare il limite di una successione di integrali.

Lo spazio L1 come spazio vettoriale normato. Lo spazio R[a,b] delle funzioni Riemann integrabili con la norma integrale non è completo (*). Completezza di L1(*).

Cenni ai teoremi fondamentali del calcolo integrale nella teoria di Lebesgue: proprietà della funzione integrale con integranda L1 e secondo teorema fondamentale del calcolo integrale. Classe delle funzioni assolutamente continue e primo teorema fondamentale del calcolo integrale. Confronti con la teoria di Riemann.

2. Alcune applicazioni della teoria della misura astratta

La misura degli oggetti geometrici di dimensione inferiore a quella dello spazio ambiente. Misura di Hausdorff s-dimensionale in Rn: definizione, principali proprietà. Dimensione di Hausdorff di un insieme. Esempio di insieme frattale. La misura Hn-1 in Rn: significato negli integrali di bordo; problema isoperimetrico. Misure e distribuzioni di carica. Motivazione per la teoria delle distribuzioni.

3. Gli spazi Lp

Definizione degli spazi Lp su uno spazio di misura astratto. Spazio . Disuguaglianze di Holder (*) e di Minkowsky (*). Completezza degli spazi Lp. Inclusione tra spazi Lp su un insieme di misura finita (*) e contresempi negli altri casi. Esempi sull'appartenenza o meno di una funzione a Lp per vari p. Spazi Lp su domini di Rn. Densità di in per .  Cenni all'integrale doppio nella teoria di Lebesgue e al teorema di Fubini-Tonelli in Rn. Convoluzione in L1(Rn); norma della convoluzione di due funzioni L1 o tra una funzione L1 e una funzione Lp; disuguaglianza di Young in Rn.

4. Generalità sugli operatori e i funzionali lineari continui su spazi normati

Operatori lineari tra spazi vettoriali normati: equivalenza tra limitatezza, continuità e continuità in un punto; norma di un operatore lineare continuo. Esempi di tipi di operatori lineari continui su spazi Lp: operatore di moltiplicazione, di convoluzione, operatore lineare a nucleo k(x,y); condizioni sul nucleo perché un operatore integrale lineare sia continuo su L1 o L2; equazioni integrali di Fredholm e applicazione del teorema delle contrazioni nel quadro degli spazi Lp; esempi di operatori lineari continui tra spazi vettoriali normali diversi da spazi Lp. Spazio degli operatori lineari continui tra due spazi vettoriali normati; è di Banach se il codominio è di Banach.

Funzionali lineari continui su un uno spazio vettoriale normato. Esempi. Spazio duale. Il duale è sempre uno spazio di Banach. Ogni funzione Lq induce un funzionale lineare continuo su Lp per p,q coniugati (*). Teorema di rappresentazione di Riesz: ogni funzionale lineare continuo su Lp si rappresenta al modo precedente, per . Duali degli spazi Lp.

Parte 3. Spazi di Hilbert

Geometria negli spazi di Hilbert. Spazi vettoriali con prodotto interno, esempi. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (*), norma indotta dal prodotto scalare (*); uguaglianza del parallelogramma (*). L'uguaglianza del parallelogramma caratterizza le norme provenienti da un prodotto interno. Funzionali lineari continui definiti dal prodotto scalare con un elemento (*). Definizione di ortogonalità.

Definizione di spazio di Hilbert, esempi: spazi . Teorema di Pitagora per un numero finito o una successione di elementi ortogonali (*). Complemento ortogonale di un sottoinsieme di H: definizione; è un sottospazio chiuso (*). Teorema della proiezione: 1. esistenza e unicità dell'elemento di minima distanza da un sottospazio vettoriale chiuso (*); 2. decomposizione ortogonale di H rispetto a un suo sottospazio chiuso (*).

Funzionali lineari continui su uno spazio di Hilbert. Il teorema di rappresentazione di Riesz sul duale di uno spazio di Hilbert (*). Forme bilineari su uno spazio di Hilbert, forme continue, coercitive, simmetriche. Esempi. Teorema di Lax-Milgram (*).

Trasformata di Fourier su uno spazio di Hilbert. Sistemi ortonormali finiti o numerabili in uno spazio di Hilbert. Base ortonormale in un sottospazio finito dimensionale. Metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt in uno spazio di dimensione finita (*). Proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio finito dimensionale di cui è nota una base ortonormale (*). Disuguaglianza di Bessel (*). Sistemi ortonormali completi. Teorema fondamentale sulla trasformata e la serie di Fourier in spazi di Hilbert (*): se H è uno spazio di Hilbert con un s.o.n.c. numerabile, la trasformata di Fourier è una isometria tra H e , e valgono le uguaglianze di Plancherel e Perceval; la serie di Fourier di qualunque elemento di H converge all'elemento stesso.

Parte 4. Applicazioni dei metodi di ortogonalità

1. Applicazioni all'analisi armonica e ai problemi di approssimazione

Il sistema trigonometrico in è un sistema ortonormale completo. Convergenza delle serie di Fourier in . Serie di Fourier in due variabili. Altri s.o.n.c. trigonometrici sulla retta o nel piano: base di Haar e cenni alle wavelets; il procedimento di ortonormalizzazione delle potenze 1, x, x2, ... in opportuni spazi L2 e la generazione dei polinomi di Legendre, Laguerre, Hermite. Esempi di approssimazione di funzioni dei corrispondenti spazi L2. Metodo generale per ottenere un s.o.n.c. in due variabili (sul rettangolo) a partire da un s.o.n.c. in una variabile. (*).

2. Applicazioni a problemi differenziali

Il metodo di separazione di variabili per problemi ai limiti per equazioni a derivate parziali, mediante il sistema trigonometrico: diffusione del calore in una sbarra finita, problema di Cauchy-Dirichlet sul segmento; proprietà regolarizzante dell'equazione del calore; problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace sul cerchio e conseguenze della formula risolutiva: formula del valor medio (*), principio di massimo (*), regolarità all'interno di un dominio (*). Problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace nel rettangolo.

Problemi di Sturm-Liouville e polinomi ortogonali. Problemi di Sturm-Liouville regolari. Ortogonalità delle autofunzioni relative ad autovalori distinti (*), positività degli autovalori (*). Esempi di problemi di Sturm-Liouville singolari e polinomi ortogonali: equazione di Legendre; risoluzione per serie (metodo di Frobenius); polinomi di Legendre; equazione di Laguerre, polinomi e funzioni di Laguerre; equazione di Hermite, sua risoluzione per serie, polinomi e funzioni di Hermite.

Applicazioni dei polinomi ortogonali in problemi ai limiti per equazioni a derivate parziali. Laplaciano in coordinate sferiche e risoluzione del problema di Dirichlet con dato indipedente dalla longitudine mediante i polinomi di Legendre. Applicazione dei polinomi di Hermite: equazione di Schrodinger per una particella mobile su una retta in un campo conservativo; impostazione del problema per separazione di variabili; il caso dell'oscillatore armonico quantistico; riconduzione all'equazione di Hermite; livelli energetici, stati stazionari, risoluzione del problema di Cauchy.

Il problema agli autovalori per il laplaciano e le sue applicazioni.  Problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione del calore o delle onde su un dominio del piano o dello spazio: metodo di separazione di variabili, problema agli autovalori per il laplaciano. Positività degli autovalori, ortogonalità delle autofunzioni (*). Due casi notevoli: la membrana vibrante rettangolare: equazione di Helmholz sul rettangolo, risoluzione, frequenze proprie, vibrazioni stazionarie e risoluzione del problema di Cauchy-Dirichlet; il fenomeno della degenerazione per la membrana vibrante quadrata. Membrana vibrante circolare: equazione di Helmholz sul cerchio, equazione di Bessel, funzioni di Bessel e loro zeri, sistemi ortonormali completi di funzioni di Bessel; frequenze proprie, vibrazioni stazionarie e risoluzione del problema di Cauchy-Dirichlet.

Parte 5. Formulazione debole dei problemi ai limiti per equazioni ellittiche

1. Derivate deboli

Motivazioni per introdurre derivate generalizzate e spazi di funzioni derivabili muniti di norma integrale. Definizione di derivata debole nel caso unidimensionale, esempi. Continuità delle funzioni derivabili in senso debole, in una dimensione. Definizione di derivata debole nel caso multidimensionale, esempi, possibili discontinuità delle funzioni derivabili. Teorema di Rademacher sulla derivabilità quasi ovunque delle funzioni lipschitziane.

2. Spazi di Sobolev

Gli spazi di Sobolev . Norma e prodotto scalare. Questi spazi sono completi (*). Prodotto di una funzione Lipschitziana con una funzione in e formula di derivazione del prodotto. Approssimazione con funzioni regolari. Gli spazi di Sobolev di funzioni nulle sul bordo o parte del bordo. Integrazione per parti tra due funzioni di cui una nulla al bordo (*). Traccia sul bordo di una funzione (*). Formule di Green (*). Disuguaglianza di Poincaré per funzioni (*).

3. Formulazione debole di problemi ai limiti

Equazioni uniformemente ellittiche, significato dei termini di diffusione, trasporto e reazione. Tipi di problemi al contorno: Dirichlet, Neumann, misto, Robin. Formulazione debole per il problema di Dirichlet con dato al bordo omogeneo o non omogeneo, per il problema di Neumann omogeneo, per il problema misto omogeneo. Risultati di esistenza nei vari casi, mediante il teorema di Lax-Milgram. (*). Cenni ai risultati di regolarizzazione. Il metodo di Galerkin per la discretizzazione dei problemi formulati in forma debole. Un risultato astratto di convergenza (*). Cenni al metodo degli elementi finiti in una o due dimensioni. Esempi di verifica delle ipotesi e formulazione debole di problemi in più variabili. Esempi di risoluzione esplicita di problemi in una variabile con qualche ingrediente discontinuo.