Pubblicazioni scientifiche e attività di ricerca: elenco delle pubblicazioni scientifiche - comunicazioni e conferenze tenute a congressi - seminari recenti tenuti - convegni organizzati - descrizione sintetica dei filoni di ricerca - proposte di argomenti di tesi per studenti.

Pubblicazioni scientifiche di Marco Bramanti

Qui di seguito si trova l'elenco delle pubblicazioni scientifiche e dei preprints, commentato da una breve descrizione dei filoni di ricerca. Cliccando sul numero del lavoro [n] ci si collega a una sua breve descrizione. E' possibile scaricare i files dei lavori evidenziati in formato PDF, oppure lo stesso file PDF in formato ZIP, cliccando sull'icona corrispondente, quando presente. Questi file possono contenere una versione del lavoro leggermente diversa da quella pubblicata, per motivi puramente tipografici.

Elenco delle pubblicazioni scientifiche Torna su     Pubblicazioni a stampa e preprint Scarica file PDF [20] M. Bramanti, L. Brandolini, M. Pedroni: On the lifting and approximation theorem for nonsmooth vector fields. Submitted preprint, 2010.   [19] M. Bramanti: Valutazioni probabilistiche sui riscontri del DNA a scopo di identificazione criminale. La Matematica nella Società e nella Cultura - Rivista dell'Unione Matematica Italiana, Serie I, Vol.II, pp.447-493.   [18] M. Bramanti, G. Cupini, E. Lanconelli, E. Priola: Global Lp estimates for degenerate Ornstein-Uhlenbeck operators. To appear on Mathematische Zeitschrift (Accepted on July 14, 2009, published online: 15 August 2009, DOI 10.1007/s00209-009-0599-3). arXiv:0807.4020v1 (361 Kb) [17] M. Bramanti: Singular integrals in nonhomogeneous spaces: L2 and Lp continuity from Hölder estimates. Revista Matematica Iberoamericana 26 (2010), no. 1, 347–366.   (187 Kb) [16] M. Bramanti, L. Brandolini, M. Pedroni: Basic properties of nonsmooth Hörmander's vector fields and Poincaré's inequality. Submitted preprint, 2008. arXiv:0809.2872 (518 Kb) [15] M. Bramanti, L. Brandolini, E. Lanconelli, F. Uguzzoni: Non-divergence equations structured on Hörmander vector fields: heat kernels and Harnack inequalities. (2006). Memoirs of the AMS 204 (2010), no. 961. Chi è interessato ad una copia mi scriva una mail.   [14] M. Bramanti, L. Brandolini, E. Lanconelli, F. Uguzzoni: Heat kernels for non-divergence operators of Hörmander type. Comptes rendus - Mathematique. Vol. 343, no.7, (2006), 463-466.   (125 Kb) [13] M. Bramanti, L. Brandolini: Schauder estimates for parabolic nondivergence operators of Hörmander type. Journal of Differential Equations, 234 (2007), no.1, 177-245. (509 Kb) [12] M. Bramanti-L. Brandolini: Estimates of BMO type for singular integrals on spaces of homogeneous type and applications to hypoelliptic PDES. Revista Matematica Iberoamericana, 21 (2005), no. 2, 511–556.   (338 Kb) [11] Bramanti, Marco; Brandolini, Luca: Lp-estimates for nonvariational hypoelliptic operators with VMO coefficients. Trans. Amer. Math. Soc. 352 (2000), no. 2, 781-822. (535 Kb) [10] M. Bramanti-L. Brandolini: Lp-estimates for uniformly hypoelliptic operators with discontinuous coefficients on homogeneous groups. Rend. Sem. Mat. dell'Univ. e del Politec. di Torino. Vol. 58, 4 (2000), 389-433. (292 Kb) [9] Bramanti, Marco; Cerutti, M. Cristina: Commutators of singular integrals on homogeneous spaces. Boll. Un. Mat. Ital. B (7) 10 (1996), no. 4, 843-883. (471 Kb) [8] Bramanti, Marco: Commutators of integral operators with positive kernels. Le Matematiche (Catania) 49 (1994), no. 1, 149-168 (1995). (261 Kb) [7] Bramanti, M.; Cerutti, M. C.; Manfredini, M.: Lp-estimates for some ultraparabolic operators with discontinuous coefficients. J. Math. Anal. Appl. 200 (1996), no. 2, 332-354. (235 Kb) [6b] M. Bramanti-M. C. Cerutti: Commutators of fractional integrals on homogeneous spaces. Quaderno di Dipartimento, Politecnico di Milano, 1994. (184K) [6] Bramanti, Marco; Cerutti, M. Cristina: Commutators of singular integrals and fractional integrals on homogeneous spaces. Harmonic analysis and operator theory (Caracas, 1994), 81-94, Contemp. Math., 189, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995.   (1745 Kb) [5] Bramanti, Marco; Cerutti, M. Cristina: Wp1,2-solvability for the Cauchy-Dirichlet problem for parabolic equations with VMO coefficients. Comm. Partial Differential Equations 18 (1993), no. 9-10, 1735-1763.   (3937 Kb) [4] Bramanti, Marco: Potential theory for stationary Schrödinger operators: a survey of results obtained with nonprobabilistic methods. Le Matematiche (Catania) 47 (1992), no. 1, 25-61 (1993). (234 Kb) [3] Bramanti, Marco: On the gradient of Schwarz symmetrization of functions in Sobolev spaces. Boll. Un. Mat. Ital. B (7) 7 (1993), no. 2, 413-430. (148 Kb) [2] Bramanti, Marco: Symmetrization in parabolic Neumann problems. Appl. Anal. 40 (1991), no. 1, 21-39. (151 Kb) [1] Bramanti, Marco: Green's function and potential theory for the Schrödinger operator: a nonprobabilistic approach. Rend. Accad. Naz. Sci. XL Mem. Mat. (5) 13 (1989), no. 1, 121-140.   (47494 Kb)

Descrizione sintetica dei filoni di ricerca

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In sintesi, i miei principali interessi di ricerca sono stati finora:
1. la teoria delle equazioni alle derivate parziali lineari, del second'ordine, con forma quadratica semidefinita positiva: equazioni ellittiche, paraboliche, ipoellittiche; sia variazionali che non variazionali;
2. l'analisi reale, sia come metodo di studio di problemi di PDE, sia come oggetto proprio di ricerca: teoria degli integrali singolari.
Più in dettaglio, da un punto di vista cronologico e tematico, i lavori sopra elencati si possono raggruppare come segue:

• Operatore di Schrödinger stazionario. (Lavori [1], [4]). Si considera un operatore differenziale lineare del second'ordine uniformemente ellittico in forma di divergenza, con parte principale più termine di ordine zero ("potenziale"). La parte principale ha coefficienti misurabili e limitati; il potenziale appartiene ad una "classe di Kato-Stummel". Si provano varie stime locali sulla funzione di Green, la misura armonica associata, il comportamento alla frontiera delle soluzioni positive. Si riottengono in modo più semplice i risultati di Cranston-Fabes-Zhao, Trans. of Amer. Math. Soc., '88 (e senza usare le tecniche probabilistiche di questo lavoro) e di Chiarenza-Fabes-Garofalo, Proc. of Amer. Math. Soc. '86.
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• Simmetrizzazioni di funzioni. (Lavori [2], [3]). Si utilizzano tecniche di simmetrizzazione radiale (nel senso di Schwarz) per provare stime a priori per soluzioni del problema di Cauchy-Neumann parabolico [2], seguendo il filone di ricerche stimolato da Talenti, Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, '76. Con le stesse tecniche si provano poi [3] vari risultati che riguardano la simmetrizzazione del gradiente di una funzione in spazi di Sobolev o Orlicz-Sobolev, ottenendo varie generalizzazioni di un classico teorema di Polya-Szego.
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• Stime L^p per operatori parabolici o ultraparabolici con parte principale non in forma di divergenza, e coefficienti discontinui. (Lavori [5], [7]). Nel 1991-93, Chiarenza-Frasca-Longo (Ricerche di Mat. '91, Trans. Am. Math. Soc., '93) dimostrarono un notevole risultato che estende la classica teoria L^p di Agmon-Douglis-Nirenberg per gli operatori ellittici del second'ordine non variazionali: mentre classicamente per provare la buona posizione del problema di Dirichlet in spazi di Sobolev W ^2,p si richiede la continuità dei coefficienti, Chiarenza-Frasca-Longo provarono che è sufficiente che i coefficienti siano nella classe VMO di Sarason ("Vanishing Mean Oscillation"introdotta in Sarason, Trans. Am. Math. Soc. '75). In questi lavori si provano risultati analoghi a quelli di CFL nel caso di operatori parabolici [5] e di operatori ultraparabolici di tipo Kolmogorov-Fokker-Planck [7]. La classe di operatori considerata in [7] era stata precedentemente studiata da Lanconelli e Polidoro, Rend. Sem. Mat. Polit. Torino 1993.
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• Teoria degli integrali singolari in spazi di tipo omogeneo. (Lavori [6], [6b], [8], [9]). Un ingrediente fondamentale nella dimostrazione delle stime a priori di Chiarenza-Frasca-Longo citate è un teorema di Coifman-Rochberg-Weiss sul commutatore di un integrale singolare di Calderon-Zygmund con l'operatore di moltiplicazione per una funzione BMO. Per estendere queste tecniche al caso parabolico, ultraparabolico, e poi subellittico, è stato necessario estendere questo teorema sul commutatore al contesto astratto degli "spazi di tipo omogeneo" nel senso di Coifman-Weiss. Questo programma è stato attuato in [9]. In [6b] si provano analoghi risultati per gli integrali frazionari. (I risultati di [9] e [6b] sono raccolti sinteticamente in [6]). In [8] invece si generalizzano i risultati di [6] al caso di operatori più generali con nucleo positivo. I risultati di [8] sono stati utilizzati da altri autori per provare stime a priori vicino alla frontiera per operatori differenziali di vario tipo. I risultati di [6b], [8], [9] sono stati utilizzati nelle successive ricerche su operatori di tipo ipoellittico, [10] e [11].
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Stime di tipo L^p e BMO per operatori differenziali in forma di nondivergenza costruiti mediante campi vettoriali di Hörmander. (Lavori [10], [11], [12]).
In questi lavori si studia una nuova classe di operatori differenziali lineari del second'ordine, che si potrebbero chiamare "operatori nonvariazionali uniformemente ipoellittici". (Per una panoramica sull'argomento, si veda anche il testo della comunicazione tenuta in un convegno nell'aprile 2004). Questi generalizzano gli operatori nonvariazionali uniformemente ellittici, quando alle derivate cartesiane si sostituiscono le derivate rispetto a una famiglia di campi vettoriali di Hörmander. Tali operatori sono emersi in maniera naturale, in anni recenti, dallo studio di problemi geometrici in più variabili complesse (v. Montanari-Lanconelli, J. Diff. Eq. 202, 2004 e bibliografia ivi cit.) e di modelli matematici nella teoria della visione umana (v. Citti-Sarti, to appear in J. Math. Imaging and Vision, e bibliografia ivi cit.).
Per questi operatori interessa stabilire stime a priori di tipo L^p (ossia: controllare la norma L^p delle derivate seconde rispetto ai campi della soluzione mediante la norma L^p del termine noto, almeno localmente). Per i corrispondenti operatori modello (somma di quadrati di Hörmander) queste stime sono state dimostrate da Folland, Arkiv for math., '75, e da Rothschild-Stein, Acta Mathematica, '76. Il primo lavoro considera il caso particolare in cui i campi sono invarianti per traslazione rispetto ad un'opportuna struttura di gruppo, e omogenei di grado due rispetto ad un'opportuna famiglia di dilatazioni; il secondo studia invece il caso generale, riconducendolo alla situazione particolare studiata nel lavoro precedente. Le analoghe stime per operatori "uniformemente ipoellittici" sono stati dimostrati in [10], nelle ipotesi di Folland, e in [11] nel caso generale, assumendo i coefficienti dell'operatore nella classe VMO (rispetto alla struttura metrica indotta dai campi). Questi risultati quindi, da una parte generalizzano gli analoghi di Folland e di Rothschild-Stein (campi di Hörmander ma matrice dei coefficienti identità), dall'altra generalizzano i risultati di Chiarenza-Frasca-Longo (matrice a coefficienti VMO ma derivate "cartesiane"). Rispetto alle varie estensioni della teoria  di Chiarenza-Frasca-Longo che esistono in letteratura, la situazione qui considerata costituisce il primo caso in cui la soluzione fondamentale del corrispondente operatore a coefficienti congelati non è esplicitamente nota, e quindi le stime uniformi su questa soluzione fondamentale, cruciali per l'applicazione della tecnica, vanno provate con un delicato ragionamento indiretto, che costituisce tecnicamente uno dei punti chiave del lavoro [10].
In [12], invece, si provano analoghe stime in spazi di tipo BMO, che sostituiscono, in un certo senso, le stime L^p, che come noto non valgono, già nel caso ellittico. Stime BMO analoghe, per il laplaciano o per operatori ellittici, sono state provate, sotto varie ipotesi, da Peetre, Ann. Mat. Pura Appl. 1966, Chang-Dafni-Stein, Trans. A.M.S. 1999, e Chang-Li, Ann. Pisa, 1999.
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• Operatori di evoluzione in forma di nondivergenza costruiti mediante campi vettoriali di Hörmander. (Lavori [13], [14], [15]). Accanto agli "operatori nonvariazionali uniformemente ipoellittici" sopra descritti, si possono considerare i corrispondenti operatori di evoluzione (derivata rispetto al tempo meno l'operatore nonvariazionale modellato sui campi vettoriali di Hörmander, ove la matrice dei coefficienti dipende anche dal tempo). Questi operatori presentano delle problematiche loro proprie, come lo studio del "nucleo del calore" associato. Nel caso di campi omogenei e invarianti rispetto ad una struttura di gruppo omogeneo, Bonfiglioli-Lanconelli-Uguzzoni hanno provato, nell'arco di diversi lavori (v.  Bonfiglioli-Lanconelli-Uguzzoni, Trans. Amer. Math. Soc. 356 (2004), e bibliografia ivi cit.) che il corrispondente operatore nonvariazionale "parabolico" a coefficienti hölderiani possiede una soluzione fondamentale che soddisfa stime gaussiane naturali dall'alto e dal basso, le sue derivate soddisfano stime gaussiane dall'alto, e per le soluzioni positive dell'equazione vale una disuguaglianza di Harnack parabolica invariante per dilatazioni. Risultati analoghi vengono provati nel caso di campi di Hörmander qualsiasi (ossia senza una soggiacente struttura di gruppo) in [15] (di cui contiene [14] l'annuncio dei principali risultati). Le tecniche utilizzate per questa estensione sono numerose e complesse. (Per una esposizione sintetica di questi risultati, non ancora pubblicati, si veda il testo di una comunicazione del 2005).
  Una delle proprietà che si dimostra, per la soluzione fondamentale dell'operatore di evoluzione nonvariazionale a coefficienti hölderiani modellato su campi di Hörmander, è che questa appartiene allo spazio di Hölder parabolico , in ogni regione discosta dal polo. Questo risultato viene provato grazie ad una opportuna "teoria di Schauder" per la medesima classe di operatori, sviluppata in [13], generalizzando risultati parziali ottenuti da Xu in Comm. Pure Appl. Math. 45 (1992). La medesima teoria si applica, come caso particolare, agli operatori nonvariazionali stazionari, facendo quindi da controparte alla teoria sviluppata in [10] e [11]. Uno degli ingredienti su cui si regge questa teoria è lo studio della continuità di operatori di integrale singolare di tipo Calderon-Zygmund sugli spazi di Hölder , nel contesto degli spazi di tipo omogeneo: il risultato in questione è pure provato in [13]. Sulle stime di Schauder, sono qui disponibili anche le slides di una conferenza tenuta nel giugno 2006.
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• Campi di Hörmander non regolari. (Lavoro [16]). Si considera un sistema di campi vettoriali definiti in un dominio di Rⁿ, che soddisfa la condizione di Hörmander al passo r; i coefficienti dei campi vettoriali sono assunti di classe C^r-1,1 (ossia i commutatori di ordine più alto sono lipschitziani). Sotto queste ipotesi si riottengono i risultati che, per campi di Hörmander a coefficienti , sono stati dimostrati da Nagel-Stein-Weinger in Acta Math. 155 (1985), ossia: le proprietà di base della distanza indotta dai campi, la proprietà di connettività (teorema di Chow), la proprietà di doubling per le sfere metriche, l'equivalenza tra due diverse distanze. Quindi si dimostra una disuguaglianza di Poincaré, analoga a quella provata, per campi di Hörmander a coefficienti , da Jerison in Indiana Univ. Math. J. 35 (1986). In base a risultati astratti già noti, questi fatti implicano anche un'immersione di Sobolev. Con questi strumenti, poi, è possibile dedurre la validità di risultati di regolarità del tipo De Giorgi-Nash-Moser per operatori differenziali del second'ordine di tipo divergenza, strutturati su questi campi nonsmooth. Questo lavoro costituisce il primo esempio di teoria per campi di Hörmander nonsmooth di passo qualsiasi e struttura qualsiasi.
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• Integrali singolari in spazi non omogenei. (Lavoro [17]). Alcuni lavori di fine anni 1990 di Nazarov-Treil-Volberg, Tolsa ed altri autori, hanno mostrato come la proprietà doubling della misura, tradizionalmente considerata come pietra angolare per lo sviluppo dell'analisi reale ed in particolare della teoria degli integrali singolari in contesti astratti (spazi di tipo omogeneo nel senso di Coifman e Weiss) è in realtà non necessaria, e può essere sostituita da condizioni in un certo senso più deboli, ad esempio una stima dall'alto del volume delle sfere di raggio r mediante una potenza fissata di r. Nel presente lavoro si dimostrano risultati di continuità L² e L^p per integrali singolari nel contesto di uno spazio limitato dotato di una quasidistanza quasisimmetrica e una misura che soddisfa la stima dall'alto sopra accennata. Quanto al nucleo singolare, si assume che soddisfi le "stime standard", ed una proprietà di cancellazione esprimibile come limitatezza di T(1) e T^*(1). Rispetto alla letteratura esistente, queste ipotesi sono più generali per quanto riguarda la quasidistanza, meno generali per quanto riguarda la proprietà di cancellazione del nucleo. Tuttavia il tipo di cancellazione qui assunta è quella che tipicamente si presenta nelle applicazioni ai problemi di stime a priori per E.D.P. lineari, in vista delle quali questo lavoro è stato pensato. Inoltre, un elemento di originalità metodologica è la tecnica con cui si dimostra la continuità L², passando attraverso la continuità su spazi di Hölder. Questo fatto rende realmente semplice e autocontenuta la dimostrazione delle stime L². Un'applicazione di questa teoria è data nel lavoro [18], e sembra essere il primo caso di applicazione della teoria degli spazi nononogenei a problemi di PDE.
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• Operatore di Ornstein-Uhlenbeck degenere. (Lavoro [18]). Si considera una certa classe di operatori A di Ornstein-Uhlenbeck degeneri ma ipoellittici in R^N, ed i corrispondenti operatori di evoluzione L=A-D_t . E' noto che l'operatore L è invariante rispetto ad un gruppo di Lie di "traslazioni" in R^N+1; inoltre, la classe di operatori L contiene una sottoclasse che è anche omogenea di grado 2 rispetto ad un'opportuna famiglia di dilatazioni. In questo caso, l'operatore rientra nella teoria di Folland, Arkiv for Mat. (1976), e per le derivate seconde che compaiono nell'equazione valgono stime L^p globali. In questo lavoro si dimostrano analoghe stime globali, per l'operatore A, nel caso generale, però, in cui il corrispondente operatore di evoluzione non è omogeneo rispetto ad una famiglia di dilatazioni. Stime L^p globali di questo sono nuove non solo per operatori di tipo Ornstein-Uhlenbeck, ma più in generale per operatori di Hörmander privi di una struttura di gruppo omogeneo. Il risultato è reso possibile dalla combinazione di diversi strumenti e risultati, noti o nuovi: l'esistenza di una soluzione fondamentale per l'operatore L, invariante per traslazioni e a decadimento rapido all'infinito (nello spazio); le relazioni tra questa soluzione fondamentale e quella di un altro operatore L₀, detto parte principale di L, che ha un gruppo omogeneo soggiacente; l'introduzione di una speciale quasidistanza, modellata sia sull'operatore L che sulla norma omogenea relativa a L₀; l'applicazione della teoria degli integrali singolari in spazi non omogenei, sviluppata ad hoc nel lavoro [17], la dimostrazione di un lemma di ricoprimento mediante sfere metriche.
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