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Leonard Euler
Gottfried Wilhelm von Leibniz
Insegnamento: Analisi Matematica II (per l'Ingegneria Elettrica) (052568)
Scuola: Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione
Corso di studi: Ingegneria Elettrica
Anno Accademico: 2020/21
Periodo: 14/09/2019 - 17/12/2019 (Primo Semestre)
Crediti: 8 (52 ore di lezione + 28 ore di esercitazioni)
Sede: Politecnico di Milano 1863 - Campus Leonardo
Docente: Emanuele Munarini
Lezioni: Lunedì, ore 12:15-14:15, aula 25.S.2 (EX D.0.3) (+ aula virtuale)
Martedì, ore 12:15-15:15, aula 21.S.3 (EX E.G.3) (+ aula virtuale)
Esercitazioni:
Docente: Amerigo Di Libero
Giovedì, ore 14:15-17:15, aula 25.S.2 (+ aula virtuale)
Ricevimento: su appuntamento (aula virtuale)

  • Sono stati attivati alcuni corsi di Tutorato (Videotutorial studenti).
  • Da Giovedì 29 Ottobre 2020, le esercitazioni si terranno nell'aula 25.S.2 anziché nell'aula 19.0.1 (EX NU.1).
  • Le lezioni e le esercitazioni verranno tenute in aula e contemporaneamente trasmesse nell'aula virtuale del corrispondente docente. Pertanto, sia le lezioni sia le esercitazioni potranno essere seguire anche da remoto.

 Funzioni di più variabili 
Limiti e continuità. Dominio naturale. Grafico e curve di livello. Dischi (intorni circolari). Punti interni, esterni, di frontiera di un insieme in $\mathbb{R}^n$. Insiemi aperti, insiemi chiusi e bordo. Punti di accumulazione e punti isolati. Insiemi limitati e illimitati. Limiti. Proprietà elementari dei limiti. Dipendenza dal modo di avvicinamento. Teorema del confronto. Metodo delle coordinate polari per il calcolo di limiti di funzioni di due variabili. Funzioni continue. Teorema della permanenza del segno. Massimi e minimi relativi e assoluti. Teorema di Weierstrass.
Calcolo differenziale. Derivabilità e derivate parziali. Gradiente. Derivate direzionali. Piano tangente. Differenziabilità. Continuità di una funzione differenziabile. Formula del gradiente. Direzioni di massimo e di minimo accrescimento. Differenziale primo. Teorema del differenziale totale. Funzioni di classe $\mathcal{C}^1$. Derivata di funzioni composte (funzione vettoriale composta con funzione a più variabili). Derivate parziali seconde. Matrice Hessiana. Funzioni di classe $\mathcal{C}^2$. Teorema di Schwarz per le derivate miste. Derivate direzionali seconde. Formula dell'Hessiana per le derivate direzionali seconde. Teorema di Schwarz per le derivate miste direzionali. Formula di Taylor al secondo ordine con resto secondo Peano. Differenziale secondo. Derivate parziali successive. Funzioni di classe $\mathcal{C}^k$. Teorema di Schwarz per le derivate k-esime. Formula di Taylor con resto secondo Peano. Forme quadratiche su $ \mathbb{R}^n$. Forme quadratiche definite positive (negative), semidefinite positive (negative), indefinite. Riconoscimento di una forma quadratica mediante i minori principali di nord-ovest. Riconoscimento di una forma quadratica mediante gli autovalori. Teorema di Fermat. Punti critici (stazionari). Punti di sella. Classificazione dei punti critici mediante la matrice Hessiana. Funzioni implicite. Teorema del Dini.
Funzioni vettoriali di più variabili. Funzioni componenti. Limiti e continuità. Derivate direzionali, derivate parziali e derivabilità. Differenziabilità. Determinazione della matrice jacobiana. Differenziale primo. Proprietà delle funzioni differenziabili (derivabilità, differenziabilità delle funzioni componenti, continuità). Formula della matrice jacobiana. Teorema del differenziale totale. Composizione di funzioni differenziabili e matrice jacobiana della funzione composta. Funzioni localmente invertibili. Teorema della funzione inversa (locale invertibilità). Matrice jacobiana della funzione inversa.
Calcolo integrale. Integrali doppi. Somme di Cauchy-Riemann su un rettangolo. Funzioni integrabili su un rettangolo. Funzioni integrabili su un insieme limitato. Insiemi misurabili. Misura di un insieme (area). Insiemi di misura nulla. Insiemi y-semplici, x-semplici, semplici, regolari. Formule di riduzione degli integrali doppi su insiemi semplici. Trasformazioni di coordinate. Trasformazioni di coordinate regolari. Significato geometrico del determinante di una applicazione lineare. Significato geometrico del determinante jacobiano di una trasformazione regolare. Cambiamento di variabili in un integrale doppio. Trasformazioni lineari di coordinate. Coordinate polari. Integrali gaussiani. Coordinate ellittiche. Integrali tripli. Insiemi misurabili. Misura di un insieme (volume). Insiemi di misura nulla. Formule di riduzione: integrazione per fili e integrazione per strati. Cambiamento di variabili in un integrale triplo. Coordinate cilindriche. Coordinate sferiche. Coordinate ellissoidali. Massa e baricentro di una regione piana e spaziale. Momenti di inerzia di una regione piana e spaziale.

 Geometria differenziale delle curve 
Funzioni vettoriali. Funzioni componenti. Limiti, continuità e derivabilità. Derivata di una funzione vettoriale. Linearità dell'operatore di derivazione. Derivata di una funzione vettoriale composta. Derivata del prodotto scalare di due funzioni vettoriali. Funzioni vettoriali con norma costante. Derivata del prodotto vettoriale di due funzioni vettoriali. Derivata del prodotto misto di due funzioni vettoriali.
Curve parametriche. Sostegno (o supporto) di una curva. Curve piane e gobbe. Esempi: cubica gobba, elica cilindrica. Curve semplici. Curve regolari. Lunghezza di una curva regolare di classe $\mathcal{C}^1$. Lunghezza del grafico di una funzione di classe $\mathcal{C}^1$. Parametro arco (parametro naturale). Parametrizzazioni equivalenti. Riparametrizzazione di una curva mediante il parametro arco.
Integrali di linea di prima specie. Definizione. Indipendenza degli integrali di linea dalla parametrizzazione. Densità lineare di massa. Massa di una curva. Coordinate del baricentro di una curva. Momento di inerzia.
Terna intrinseca. Curve biregolari. Terna intrinseca: versore tangente, versore normale, versore binormale. Piano osculatore, piano normale, piano rettificante. Curvatura e torsione. Formule di Frenet-Serret. Teorema di esistenza e unicità delle curve nello spazio. Caratterizzazione degli archi di retta mediante la curvatura. Caratterizzazione delle curve piane mediante il versore binormale (torsione). Circonferenza osculatrice di una curva. Raggio, centro e piano della circonferenza osculatrice. Velocità e accelerazione. Decomposizione del vettore accelerazione. Curvatura rispetto a un parametro qualsiasi. Torsione rispetto a un parametro qualsiasi.

 Campi vettoriali 
Campi vettoriali. Campi vettoriali. Linee di campo. Rotore. Campi irrotazionali. Divergenza. Campi a divergenza nulla. Divergenza del rotore.
Integrali di linea di seconda specie. Lavoro di un campo lungo una curva (integrali di linea di seconda specie). Dipendenza del lavoro di un campo vettoriale dall'orientazione della curva.
Campi conservativi.. Campi conservativi. Irrotazionalità di un campo conservativo. Rotore del gradiente. Lavoro di un campo conservativo. Insiemi connessi e semplicemente connessi. Equivalenza dei campi irrotazionali con i campi conservativi su regioni semplicemente connesse. Funzione potenziale di un campo conservativo definita mediante il lavoro. Caratterizzazione dei campi conservativi su aperti connessi (indipendenza del lavoro dai cammini).
Teorema di Guass-Green e della divergenza nel piano.. Orientazione positiva e negativa di una curva semplice chiusa. Teorema di Gauss-Green per regioni piane y-semplici. Teorema di Gauss-Green per regioni piane x-semplici. Teorema di Gauss-Green per regioni piane semplici. Teorema di Gauss-Green per regioni piane regolari. Invarianza del lavoro di un campo irrotazionale lungo curve chiuse omotope. Flusso di un campo vettoriale piano. Teorema della divergenza nel piano.
Superfici.. Superfici parametriche. Superfici cartesiane (grafico di una funzione). Superfici semplici. Superfici regolari. Linee coordinate. Vettori tangenti a una superficie. Piano tangente. Vettore normale a una superficie. Superfici di rotazione (sfera, toro, cono, cilindro, paraboloide ellittico). Spazio tangente. Area di una superficie. Area del grafico di una funzione. Integrali di superficie. Massa e baricentro di una superficie. Teorema di Pappo-Guldino. Momento di inerzia di una superficie. Superfici orientabili e orientazione di una superficie. Superfici non orientabili (nastro di Möbius). Superfici semplici. Orientabilità di una superficie semplice regolare. Bordo di una superficie semplice. Orientazione del bordo indotta dall'orientazione della superficie.
Teorema di Stokes a della divergenza nello spazio.. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Teorema di Stokes. Teorema della divergenza nello spazio.

 Equazioni differenziali 
Generalità. Equazioni differenziali ordinarie. Ordine. Soluzione di un'equazione differenziale su un intervallo. Soluzione generale e soluzioni particolari. Equazioni differenziali in forma normale. Problema di Cauchy e sua interpretazione geometrica.
Equazioni differenziali a variabili separabili. Integrazione di un'equazione differenziale a variabili separabili. Soluzioni singolari (o stazionarie). Teorema di esistenza e unicità locale per il problema di Cauchy. Determinazione dell'intervallo massimale su cui è definita la soluzione di un problema di Cauchy.
Equazioni lineari. Insieme delle controimmagini. Teorema di struttura dello spazio delle soluzioni di un'equazione lineare generale. Metodo di soluzione di un'equazione lineare generale. Principio di sovrapposizione. Equazioni differenziali lineari di ordine n. Operatori differenziali. Proprietà dello spazio delle soluzioni dell'equazione differenziale omogenea e sua dimensione.
Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Forma esplicita dell'integrale generale. Teorema di esistenza e unicità per il problema di Cauchy. Sviluppo di Taylor della soluzione di un problema di Cauchy. Discontinuità di una funzione derivata.
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine. Teorema di esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauchy. Spazio delle soluzioni dell'equazione omogenea. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Equazioni omogenee. Equazione caratteristica. Costruzione di una base dello spazio delle soluzioni dell'equazione omogenea. Determinazione di una soluzione particolare dell'equazione completa: metodo di somiglianza (per $q(x) = Q(x) \mathrm{e}^{kx}x$, $q(x) = Q(x) \mathrm{e}^{\alpha x}\cos\beta x $, $q(x) = Q(x) \mathrm{e}^{\alpha x}\sin\beta x $); metodo della variazione delle costanti arbitrarie (metodo di Lagrange). Equazioni differenziali di Eulero. Metodo di risoluzione (mediante sostituzione).

 Serie di funzioni 
Successioni di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme. Proprietà del tubo. Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza uniforme. Proprietà delle successioni uniformemente convergenti (limitatezza, integrabilità, continuità, derivabilità).
Serie di funzioni. Somme parziali. Convergenza puntuale, uniforme e totale. Critereio di Weistrass (M-test). Proprietà delle serie uniformemente convergenti (continuità, integrabilità, derivabilità).
Serie di potenze. Serie di potenze con centro in un punto $ x_0 $. Insieme di convergenza. Lemma di Abel. Raggio di convergenza e intervallo di convergenza. Convergenza uniforme di una serie di potenze. Funzioni definite da una serie di potenze e loro proprietà (continuità, integrabilità, derivabilità).
Serie di Taylor. Funzioni sviluppabili in serie di Taylor. Funzioni di classe $ \mathcal{C}^\infty $ non sviluppabili in serie di Taylor. Sviluppo in serie di Taylor delle funzioni elementari ($ e^x $, $ \sin x $, $ \cos x $, $ \sinh x $, $ \cosh x $, $ \ln(1+x) $, $ \ln\frac{1}{1-x} $, $ \mathrm{artg}\, x $, $ (1+x)^\alpha $, $ \frac{1}{1+x} $, $ \frac{1}{1-x} $). Sviluppabilità in serie di Taylor centrata in $ x_0 $ della funzione definita da una serie di potenze centrata in $ x_0 $.
Serie di Fourier. Funzioni $2\pi$-periodiche. Prodotto scalare nello spazio $ \mathcal{C}([a,b]) $. Polinomi trigonometrici. Spazio $ P_n $ dei polinomi trigonometrici di ordine $ \leq n $. Base ortogonale e base ortonormale dello ospazio $ P_n $. Proiezione ortogonale di una funzione continua (continua a tratti) sul sottospazio $ P_n $. Serie e coefficienti di Fourier di una funzione. Scarto quadratico medio. Convergenza in media quadratica della serie di Fourier. Identità di Parseval. Teorema di Riemann-Lebesgue. Funzioni regolari a tratti. Convergenza puntuale della serie di Fourier. Convergenza uniforme della serie di Fourier. Serie di Fourier di funzioni pari o dispari. Fenomeno di Gibbs. Calcolo di alcune serie numeriche mediante le serie di Fourier. Forma esponenziale della serie di Fourier. Indentità di Parseval per una serie di Fourier in forma esponenziale.

 Analisi complessa 
Funzioni di variabile complessa. Parte reale e parte immaginaria di una funzione di variabile complessa. Funzioni elementari: polinomi, funzioni razionali, esponenziale complesso, seno e coseno complesso, seno iperbolico e coseno iperbolico complesso, logaritmo complesso, radici $n$-esime complesse, potenze complesse. Limiti. Funzioni continue.
Funzioni olomorfe. Derivabilità e derivata di una funzione complessa. Funzioni olomorfe. Proprietà delle funzioni olomorfe: somma, prodotto, quoziente, composizione. Spazio delle funzioni olomorfe. Teorema di Goursat (sulle funzioni olomorfe). Teorema di caratterizzazione delle funzioni olomorfe (equazioni di Cauchy-Riemann). Funzioni olomorfe a valori reali. Invertibilità locale di una funzione olomorfa. Funzioni armoniche. Funzioni olomorfe e funzioni armoniche. Funzioni armoniche coniugate.
Integrali di linea. Curve nel campo complesso. Integrali di linea di funzioni complesse. Proprietà: linearità, additività, orientazione, disuguaglianza di Darboux. Primitive. Teorema fondamentale del calcolo. Teorema integrale di Cauchy. Generalizzazione del teorema integrale di Cauchy a regioni con una lacuna. L'integrale $ \int_\gamma (z-z_0)^n \mathrm{d}x $, con $ n \in \mathbb{Z} $, lungo una curva $\gamma$ chiusa che circonda $ z_0 $. Formula integrale di Cauchy. Formula integrale di Cauchy per le derivate. Calcolo di integrali mediante le formule integrali di Cauchy. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra.
Serie di potenze. Serie numeriche nel campo complesso. Convergenza e convergenza assoluta. Serie di potenze. Lemma di Abel. Raggio di convergenza e disco di convergenza. Teorema di Abel (sulla convergenza di una serie di potenze). Olomorfia della funzione definita da una serie di potenze. Serie di Taylor. Sviluppabilità di una funzione olomorfa in serie di Taylor (analiticità di una funzione olomorfa). Serie di Taylor delle funzioni elementari ($\mathrm{e}^z$, $\sin z$, $\cos z$, $\sinh z$, $\cosh z$, $\ln(1+z)$, $-\ln(1-z)$, $artg z$, $(1+z)^\alpha$, $\frac{1}{1+z}$, $\frac{1}{1-z}$). Serie bilatere di Laurent. Anello di convergenza di una serie di Laurent. Sviluppabilità in serie di Laurent di una funzione olomorfa.
Residui. Singolarità. Singolarità isolate. Singolarità eliminabili, poli, singolarità essenziali. Residui. Teorema di de l'Hôpital. Residuo in un polo semplice. Residuo in un polo di ordine $m$. Rappresentazione integrale dei residui. Teorema dei residui. Applicazione del teorema dei residui al calcolo di integrali complessi. Calcolo di integrali reali: integrali trigonometrici, integrali di funzioni razionali, integrali di funzioni razionali e trigonometriche.

N.B. I teoremi sottolineati sono i teoremi per i quali è richiesta la dimostrazione.

Ultimo aggiornamento: 15 Dicembre 2020.

Esercizi

Vecchi temi d'esame di Analisi e Geometria 2

Vecchi temi d'esame di Analisi Matematica II

Temi d'esame di Analisi Matematica II

Date degli esami
Prima prova in itinere     Novembre 2020
Seconda prova in itinere Gennaio 2021
Primo appello Febbraio 2021
Secondo appello Giugno 2021
Terzo appello Luglio 2021
Quarto appello Settembre 2021

Modalità d'esame
  1. La verifica dell'apprendimento è effettuata mediante una prova scritta e un colloquio orale. La prova scritta è selettiva, ossia se non viene superata con valutazione sufficiente lo studente non è ammesso al colloquio orale e non supera l'esame. Sono previste due prove in itinere (una nell'interruzione di metà corso e l'altra a fine corso) che, qualora risultino entrambe sufficienti, danno diritto all'esonero dallo scritto del primo appello. In alternativa, per la situazione sanitaria in corso, gli esami potranno essere fatti a distanza con modalità diverse.
  2. Per pemettere la corretta verbalizzazione dell'esame, lo studente deve iscriversi a ogni prova che intende effettivamente sostenere. Se per qualsiasi motivo lo studente si iscrive tardivamente (o non risulta iscritto), potrà essere ammesso a sostenere la prova scritta a discrezione del docente e, in ogni caso, solo se ci sarà posto in aula.

Testi
         

Altri testi
Funzioni di variablie reale
  •   R. A. Adams, C. Essex, Calcolo Differenziale 2. Funzioni di più variabili, Casa Editrice Ambrosiana, 2014.
  •   Tom M. Apostol, Calcolo. Vol. 3: Analisi 2, Bollati Boringhieri, 1978.
  •   M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli, Bologna, 2009.
  •   C. Canuto, A. Tabacco, Analisi Matematica II, Springer-Verlag Italia, 2014.
  •   F. Gazzola, Analisi Matematica 2, Edizioni La Dotta, Bologna 2015.
  •   F. Gazzola, F. Tomarelli, M. Zanotti, Analisi Complessa, Trasformate, Equazioni Differenziali, Esculapio, Bologna 2016.
  •   Enrico Giusti, Analisi matematica. Vol. 2, Bollati Boringhieri, 2003.
  •   Morris Kline, Calculus: An Intuitive and Physical Approach, Dover Books on Mathematics, 1998.
  •   Angel V. Kumchev, Calculus III. Lecture Notes.
  •   S. A. Popescu, Mathematical Analysis II. Integral Calculus.
  •   Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976.
  •   William F. Trench, Introduction to Real Analysis, Trinity University, Digital Commons @ Trinity.
  •   William F. Trench, Elementary Differential Equations, Trinity University, Digital Commons @ Trinity.
  •   E. T. Whittaker, G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, England: Cambridge University Press, 1990.

  •   Vittorio Bononcini, Esercizi di analisi matematica vol.2, CEDAM, 1974.
  •   Enrico Giusti, Esercizi e complementi di analisi matematica. Vol. 2, Bollati Boringhieri, 1992.
  •   Murray R. Spiegel, Analisi di Fourier, Collana Schaum, Etas Libri, Milano 1976.
Funzioni di variablie complessa
  •   M. J. Ablowitz, A. S. Fokas, Complex Variables, Introduction and Applications, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2003.
  •   L. V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill, New York, 1979.
  •   Luigi Amerio, Funzioni analitiche e trasformazioni di Laplace, Tamburini Editore, Milano 1972.
  •   N. Asmar, L. Grafakos, Complex Analysis with Applications, Springer 2018
  •   R. V. Churchill, Complex Variables and Applications, McGraw-Hill, New York 1960
  •   J. B. Conway, Functions of One Complex Variable, Grad. Texts in Math. 11, Springer, New York, 1978, 1995.
  •   Theodore Gamelin, Complex Analysis, Springer-Verlag, 2003.
  •   E. Goursat, A Course in Mathematical Analysis, Ginn & co., Boston, 1917.
  •   Maurice Heins, Complex Function Theory, Academic Press, 1968.
  •   K. Knopp, Theory of Functions, Dover, New York 1996.
  •   Serge Lang, Complex analysis, Springer, NewYork-Berlin 1999.
  •   Ernst Lindelöf, Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions, Gauthier-Villars, Paris 1905.
  •   Carlo Presilla, Elementi di analisi complessa: funzioni di una variabile, Springer, 2014.
  •   R. Remmert, Theory of complex functions, Springer 1989.
  •   R. Remmert, Classical topics in complex function theory, Springer 1998.
  •   Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, New York, 1987.
  •   G. Sansone, Lezioni sulla teoria delle funzioni di variabile complessa, Cedam 1963.
  •   W. T. Shaw, Complex Analysis with Mathematica, Cambridge University Press, Cambridge, UK, forthcoming, 2005.
  •   Edward C. Titchmarsh, The Theory of Functions, Oxford University Press, 1939.

  •   Murray R. Spiegel, Teoria ed Applicazioni delle Variabili Complesse, Collana Schaum, Etas Libri, Milano 1985.
  •   Murray R. Spiegel, Trasformate di Laplace, Collana Schaum, Etas Libri, Milano 1976.

Opere di consultazione

Software Matematico

Laboratori e Seminari

Matematici
  1. [MT]: The MacTutor History of Mathematics archive
  2. [Wiki]: Matematici - Wikipedia (Italiano)
  3. [WikiE]: Wikipedia (English)

  1. Niels Henrik Abel (1802-1829) [MT] [Wiki]
  2. Félix Edouard Justin émile Borel (1871–1956) [MT] [Wiki]
  3. Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) [MT] [Wiki]
  4. Leonhard Euler (1707-1783) [MT] [Wiki]
  5. Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) [MT] [Wiki]
  6. Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855) [MT] [Wiki] [WikiE]
  7. Josiah Willard Gibbs (1839-1903) [MT]
  8. Oliver Heaviside (1850-1925) , [MT] [Wiki]
  9. Charles Hermite (1822-1901) [MT] [Wiki]
  10. Ludwig Otto Hesse (1811-1874) [MT] [WikiE]
  11. David Hilbert (1862-1943) [MT] [Wiki]
  12. Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) [MT] [Wiki]
  13. Leopold Kronecker (1823-1891) [MT] [Wiki]
  14. Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) [MT] [Wiki]
  15. Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) [MT] [Wiki]
  16. Henri Léon Lebesgue (1875-1941) [MT] [Wiki]
  17. Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) [MT] [Wiki]
  18. Colin Maclaurin (1698–1746) [MT] [Wiki] [WikiE]
  19. Isaac Newton (1643-1727) [MT] [Wiki]
  20. Jules Henri Poincaré (1854-1912) [MT] [Wiki]
  21. Pythagoras of Samos (~569 BC-~475 BC) [MT] [Wiki]
  22. Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866) [MT] [Wiki]
  23. Brook Taylor (1685-1731) [MT] [Wiki] [WikiE]
  24. Karl Weierstrass (1815-1897) [MT] [Wiki]
  25. Josef Hoëné de Wronski (1778-1853) [MT] [WikiE]